Produits étoile et déformations quantifications strictes - Université de Lorraine Access content directly
Theses Year : 1992

Star products and strict deformations quantizations

Produits étoile et déformations quantifications strictes

Abstract

We study the structure of the tori equipped with the Rieffel's star product. In particular we determine their spectrum, their center and the type of their factorial representations. This product is like the Moyal product, but the Neumann unicity of representation of commutation relations which says that the regular representation generates a type one factor, is no more true in the case of the tori. Next, we apply the same construction to space of functions on abelian connected groups. We obtain type one-infinity, two-one and two-infinty factors. Then, we try to construct a convergent and tangential deformation quantization on the dual of a nilpotent Lie algebra. Such a construction is realized here in the case of a nilpotent special Lie alegbra, using a deformed version of the formulae of Rieffel. More precisely, we consider a product of exponential, instead of the usual exponential mapping to identify the Lie group with the Lie algebra. Finally we define the adapted Fourier transform and we related it to unitary representations of the corresponding Lie group
On a étudié la structure des tores munis du produit étoile de Rieffel. En particulier on a déterminé leur spectre, leur centre et le type de leurs représentations factorielles. Ce produit est très proche de celui de Moyal mais le théorème d'unicité de représentation des relations de commutation qui dit que la représentation régulière gauche engendre un facteur de type un-infini n'est plus vrai dans le cas d'un tore non-commutatif. Puis on a généralisé la construction faite sur les tores aux groups connexes abéliens permettant ainsi la construction de facteurs de type un-infini, deux-un et deux-infini. Ensuite on a cherché à construire un produit étoile qui soit défini sur tout le dual d'une algèbre de Lie nilpotente, convergent et tangentiel. Une telle construction a été réalisée ici dans le cas des algèbres nilpotentes spéciales. On a défini un produit étoile sur les algèbres des fonctions de Schwartz et des fonctions polynomiales par déformation de la formule de Rieffel, en effet au lieu d'identifier dans cette formule le groupe de Lie et son algèbre par l'application exponentielle, on le fait au moyen d'un nouveau difféomorphisme. Enfin on a défini la transformée de Fourier adaptée et on a relié ceci à la représentation unitaire du groupe de Lie correspondant
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tel-01775963 , version 1 (24-04-2018)

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  • HAL Id : tel-01775963 , version 1

Cite

Nabiha Ben Amar. Produits étoile et déformations quantifications strictes. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 1992. Français. ⟨NNT : 1992METZ005S⟩. ⟨tel-01775963⟩
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