Automatic and morphic sequences with large complexity along subsequences
Suites automatiques et morphiques de grande complexité le long des sous-suites
Résumé
The topic of this thesis lies at the interface between mathematics and computer science. A pseudorandom sequence is a sequence generated by a deterministic algorithm that has properties similar to those of a random sequence. We are interested in various complexity measures for these pseudorandom sequences. Automatic and morphic sequences are not random or pseudorandom, but certain subsequences of these sequences, such as polynomial subsequences for instance, are more random than the original sequences. In the first part of the thesis, we establish a lower bound on the maximal order complexity of the Thue-Morse sequence and related sequences along polynomial subsequences. This answers a question of Sun and Winterhof (2019). We then study the problem in the Zeckendorf numeration system. Its sum of digits function is a morphic non-automatic sequence. We establish a lower bound on the maximal order complexity of the Fibonacci-Thue-Morse sequence along unitary polynomials. We calculate the complexity with the help of the Directed Acyclic Word Graph (DAWG). In the second part, we are interested in the binary sum of digits of squares. We take up the work of Hare, Laishram and Stoll (2011) who studied the problem to determine the odd integers whose Hamming weight is the same as the one of their square. We solve the problem in the majority of the remaining cases, and introduce new tools that might be helpful to completely solve the problem. Our methods range from number theory, combinatorics on words to implementations in the area of computer science. In the third part of the thesis, we study the correlations of the Rudin-Shapiro sequence. The correlations of order 2 are well understood for this sequence, the behavior of this sequence is rather random whereas the original sequence is completely deterministic. The correlation of higher orders of this sequence do not show this random behavior. Aloui, Mauduit and Mkaouar (2021) studied the correlation of the Thue-Morse sequence along prime numbers. We provide a result on the correlation of the Rudin-Shapiro sequence along prime numbers.
Cette thèse se situe à l'intersection des mathématiques et de l'informatique théorique. Une suite pseudo-aléatoire, bien qu'engendrée par un algorithme déterministe, possède un comportement proche de celui d'une suite aléatoire. Nous nous intéressons à différentes mesures de complexité pour les suites pseudo-aléatoires. D'un autre côté, les suites automatiques sont des suites non aléatoires. Cependant, certaines sous-suites des suites automatiques, comme les sous-suites polynomiales, sont bien plus aléatoires. Dans la première partie de cette thèse, nous établissons une borne inférieure de la complexité d'ordre maximal de la suite de Thue-Morse et des suites de motifs le long de tout polynôme unitaire, ce qui répond à une question de Sun et Winterhof (2019). Nous étudions ensuite le système de numération de Zeckendorf. Sa fonction somme des chiffres est une suite morphique non-automatique. Nous établissons une borne inférieure de la complexité d'ordre maximal de la suite de Fibonacci-Thue-Morse le long de tout polynôme unitaire. Nous calculons la complexité d'ordre maximal à l'aide du Graphe Acyclique Orienté de Mot (DAWG). Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous intéressons à la somme des chiffres binaire des carrés parfaits. Nous reprenons les travaux de Hare, Laishram et Stoll (2011) qui étudient le problème de déterminer les entiers impairs dont le poids de Hamming est égal à celui de son carré. Nous résolvons ce problème pour la majorité des cas restants et introduisons de nouveaux outils potentiellement utiles à la résolution complète du problème. Nos méthodes combinent la théorie des nombres, la combinatoire des mots et l'informatique. La dernière partie de cette thèse porte sur les corrélations de la suite de Rudin-Shapiro. La corrélation d'ordre 2 est historiquement très étudiée pour cette suite car elle possède un comportement aléatoire bien que la suite soit déterministe. Cependant, des corrélations d'ordre supérieur de cette suite ne possèdent plus ce comportement aléatoire. Dans la lignée des travaux de Aloui, Mauduit et Mkaouar (2021) sur les corrélations de la suite de Thue-Morse le long des nombres premiers, nous établissons un résultat sur les corrélations de la suite de Rudin-Shapiro le long des nombres premiers.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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