Local scale invariance and space-time symmetries in systems undergoing ageing
Analyse des symétries d'espace-temps dans les systèmes vieillissants
Résumé
The slow dynamics observed in ferromagnetic systems rapidly quenched from a disordered initial state into its low-temperature ordered phase is characterized by the breaking of time-translation invariance and by dynamical scaling. Since the dynamical exponent generically has the value z=2 in this situation, the natural candidates for extended dynamical scale-transformation are the elements of the Schrödinger group Sch(d). A reformulation in terms of stochastic field-theory shows that the symmetries of the system, described by a stochastic Langevin equation, can be obtained from the consideration of the deterministic part of that equation, which is a non-linear partial differential equation. It follows that the form of the response functions can be derived from the hypothesis of their covariant transformation under local scale-transformations. The explicit construction of non-linear diffusion equations which are invariant under the Lie algebra schd of the Schrödinger group or else is subalgebra aged which is obtained when time-translations are excluded, requires the introduction of a new dimensionful variable, related to a physical coupling constant g. Constructing new representations of the sch1 and age1 containing g, new non-linear equations with real-valued solutions are obtained, which are Schrödinger- and not only Galilei-invariant. The resulting expression for the response function is derived. Applications to Bose-Einstein condensation and the slow kinetics of strongly interacting particle systems are discussed. A different route uses the embedding of sch1 as an (almost) parabolic subalgebra of the conformal algebra (conf3)C by considering the mass not as a constant, but as an additional variable. Invariant equations are classified and are compared to the coarse-grained equations for the time-dependent order-parameter in phase-ordering kinetics. Finally alt1, an other parabolic subalgebra, is studied as abstract Lie algebra. Its representation are discussed, as well as Appel system realization on coherent states.
La dynamique lente observée dans des aimants trempés d'un état initial désordonné vers la phase ordonnée se caractérise par la brisure de l'invariance sous translations temporelles et par l'invariance d'échelle dynamique. Parce que l'exposant dynamique vaut z=2, l'extension de l'invariance d'échelle dynamique vers les éléments du groupe de Schrödinger Sch(d) est naturelle. La reformulation de l'équation de Langevin sous forme d'une théorie stochastique de champs montre que les symétries dynamiques du système sont celles de la partie déterministe de l'équation de Langevin. Les fonctions de réponse s'obtiennent de l'hypothèse de leur covariance sous des transformations d'échelle locale. La construction des équations de diffusion non-linéaires et invariantes sous les algèbres de Lie schd du groupe de Schrödinger ou son sous-algèbre aged obtenu en supprimant les translations temporelles, requiert l'introduction d'une nouvelle variable g dimensionnée, représentant une constante de couplage. Des nouvelles représentations de sch1 et de age1, qui incluent g, mènent aux nouvelles équations non-linéaires avec invariance de Schrödinger et non seulement de Galilée. La fonction de réponse est calculée et des applications à la condensation Bose-Einstein et à la cinétique lente des systèmes de particules sont présentées. Alternativement, en considérant la masse non comme une constante mais comme une nouvelle variable, on peut inclure sch1 naturellement dans l'algèbre conforme (conf3)C. Les équations invariantes sont classifiées et leur similitude avec les équations à gros grains du paramètre d'ordre dans la cinétique de règlement de phases est discutée. Une autre sous-algèbre parabolique, alt1, est étudiée en tant d'algèbre de Lie abstraite. Ses représentations et ses systèmes d'Appel sont construits explicitement.