Structure de la semi-dérivée eulérienne dans le cas de domaines fissurés et quelques applications
Résumé
In the general theory of shape optimization, the regularity conditions imposed on the boundaries of geometrical domains in R[exponent N], N = 2, 3, are relatively restrictive. Usually, the domain is supposed to be C2 , or at least Lipschitz for an application of boundary variations technique in order to derive the first order optimality conditions. On the other hand, there are many partial results on shape sensitivity analysis in domains with cracks. In particular such results concern the so-called Griffith criteria in damage rnechanics. In the work the unified approach is proposed for shape sensitivity analysis in the presence of cracks. We restrict ourselves to the 2D case, however the method is general and can be applied as well as to the 3D problems.
Using the speed method of shape optimization, the structure of the Eulerian semiderivative of differentiable shape functionals is established in non smooth domains. The result is applied to several examples including energy functionals, Signorini problem, control problems and eigenvalues of Laplacian.
Habituellement, l'analyse mathématique de nombreux problèmes d'optimisation de forme requiert des hypothèses de régularité relativement fortes sur la frontière du domaine dans lequel on travaille, ce qui en pratique est loin d'être toujours le cas. Cela ne permet donc pas d'obtenir des résultats pour une certaine catégorie de domaines non réguliers : les domaines fissurés. L'étude de différents problèmes
dans de tels domaines est très importante puisqu'elle conduit à plusieurs applications possibles parmi lesquelles l'identification et l'évolution de fissures au moyen de méthodes d'optimisation de formes. De plus, l'obtention de conditions nécessaires d'optimalité ainsi que la mise en oeuvre de méthodes constructives
de calcul d'un domaine optimal nécessitent bien souvent la détermination de la semi-dérivée eulérienne, à savoir la Gâteaux-différentielle, des fonctionnelles de coût associées au problème. C'est pourquoi il est primordial de dégager la structure de la semi-dérivée eulérienne. Dans le cas de domaines réguliers, cette
structure est bien connue puisque la semi-dérivée eulérienne dépend uniquement des perturbations de la frontière du domaine en direction de la normale.
La première partie de ce travail consiste donc à déterminer la structure de la semi-dérivée eulérienne dans le cas de domaines fissurés et nous constatons alors l'apparition de deux nouveaux ternies dus aux extrémités de la fissure. Dans un deuxième temps, nous appliquons le théorème de structure à différents types de problèmes : un problème associé à la fonctionnelle d'énergie dans le cas d'une équation elliptique, deux problèmes non linéaires dont l'un avec conditions de Signorini, et un problème de contrôle optimal. Enfin, dans la troisième partie, nous donnons une application très importante du théorème de structure :
l'étude de la différentiabilité par rapport au domaine des. valeurs propres du laplacien avec condition de Neumann sur la fissure et condition de Dirichlet sur la frontière extérieure, ces valeurs propres étant
comptées avec multiplicité.