Etude de processus de diffusion - Université de Lorraine Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2001

Etude de processus de diffusion

Samuel Herrmann
  • Fonction : Auteur
  • PersonId : 773098
  • IdRef : 137824025

Résumé

The first part contains a study of a large deviation phenomenon. Our approach generalizes the result of Freidlin and Wentzell. Here we emphases the asymptotic behaviour of a solution of a stochastic differential equation which diffusion coefficient tends to zero, and which associated ordinary differential equation satisfies a Peano phenomenon. Proofs are based on probabilistic (large deviations theory) and analytic (viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations) tools. In the second part, we study a system of self-stabilizing processes. This system is obtained by taking the limit in a system of two kinds of particules. These particules satisfy stochastic differential equations. Moreover, two particules of the same family attract each other and a particule pushes a particule of the other family away. We let the number of particule tend to infinity and prove that the system admits an unique solution which converges to the stationnary distribution as the time is getting large. In the last part, we study a stochastic differential equation with long memory. The drift of this diffusion, which depends on ail the past, attracts the process to the place where it has spent the most time. We prove then that the behaviour of this process, when the time tends to infinity, depends on the behaviour of the interaction function in the neighbourhood of the origin. In some particular cases the process converges almost surely, in other cases the process does not converge but remains bounded. Proofs are based on comparison results.
La première partie contient l'étude d'un phénomène de grandes déviations. Elle généralise les résultats de Freidlin et Wentzell liés au comportement asymptotique d'une solution d'une équation différentielle stochastique, dont le coefficient de diffusion tend vers zéro. Elle met en valeur l'étude du cas où l'équation différentielle ordinaire associée au problème limité, satisfait un phénomène de Peano. Les arguments sont probabilistes (principe de grandes déviations et calcul stochastique) mais également analytique (solutions de viscosité d'équations de Hamilton-Jacobi). Dans la seconde partie, on étudie un système de processus auto stabilisant qui s'obtient comme limite, par propagation du chaos, d'un système de particules. Ces particules satisfont à une équation différentielle stochastique et sont regroupées en deux familles. Les particules de la même famille s'attirent et les particules de familles différentes se repoussent. On montre alors que le système limite admet une unique solution qui, de plus, se stabilise quand le temps devient grand, c'est-a-dire que la loi de la solution tend vers l'unique mesure stationnaire. Enfin, la dernière partie se concentre sur l'étude d'une diffusion à mémoire longue inspirée des marches aléatoires renforcées. La dérive de cette diffusion particulière dépend de tout le passé et attire le processus vers l'endroit où il a passé la majeure partie de son temps. Suivant le comportement de la fonction d'interaction au voisinage de l'origine, on montre que la diffusion converge presque surement ou, au contraire, qu'elle ne converge pas, tout en restant bornée presque surement. Les démonstrations reposent essentiellement sur des principes de comparaisons entre les diffusions.
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tel-01748134 , version 1 (29-03-2018)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01748134 , version 1

Citer

Samuel Herrmann. Etude de processus de diffusion. Mathématiques générales [math.GM]. Université Henri Poincaré - Nancy 1, 2001. Français. ⟨NNT : 2001NAN10026⟩. ⟨tel-01748134⟩
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