Holonomie des connexions sans torsion
Résumé
We study the finite-dimensional Lie algebra representations in connection with their lattice of subrepresentations. We consider the case where the representation admits two pairs of supplementary invariant subspaces. We show that in this case the representation admits a canonical decomposition in three subrepresentations with well defined caracteristics. We strengthen the results for the situation where the representation admits a pair of supplementary invariant subspaces and an invariant reflexive form, respectively an invariant metric. In the geometric part we apply the preceding results to the study of the holonomy representations of a manifold equipped with a torsion-free connection or in particular a pseudo-Riemannian manifold. Finally we have a closer look at representations of type direct sum of V and V dual or V tensor the trivial representation of dimension 2 , which appear in this context, and we caracterize the torsion-free connections admitting a holonomy representation of this kind.
Dans une premier temps nous étudions les représentations de dimension finie des algèbres de Lie en rapport avec le treillis des sous-représentations. Nous considérons le cas où la représentation laisse invariant deux paires de sous-espaces supplémentaires. Nous montrons que la représentation peut être décomposée dans ce cas en une somme de trois sous-représentations canoniques que nous caractérisons. Nous précisons les résultats dans le cas d'une représentation préservant deux sous-espaces supplémentaires et une forme réflexive, et aussi dans le cas métrique. Dans une deuxième partie géométrique nous appliquons les résultats précédents à l'étude des représentations d'holonomie d'une variété munie d'une connexion sans torsion ou en particulier réflexive ou pseudo-Riemannienne. Enfin nous examinons de plus près les représentations de type somme directe de V et V dual , respectivement V tenseur la représentation triviale de dimension 2 , qui apparaissent dans le cadre de cette étude, et nous caractérisons les connexions sans torsion admettant une telle représentation d'holonomie.