Controllability of non linear systems in low dimensions
Contrôlabilité des systèmes non linéaires en basse dimension : structure et classification
Résumé
This thesis has three independant parts : 1-study of the controllability, in dimension3, of a pair of linear vector fields, one of these being a nilpotent one of order 2 ; 2-classification, from the controllability point of view, of affine systems in the plane with unbounded controls ; 3-classification of quadratic systems in dimension 3. The first deal with a difficult problem : controllability of pairs of vectors fields in dimension 3. In fact this is equivalent to achieve controllability for a system with bounded controls. It is knon that such a problem is difficult. For the pairs being considered necessary and sufficient conditions are given. It seems that something deep is happening with nilpotent element in a Lie group. This point desserves certainly to be investigated further. The second part gives necessary and sufficient conditions for an affine system in the plane with unbounded controls to be controllable : x=ax+u(dx+b). These conditions are entirely of an algebric kind, so computable. This is due to low dimension. A topological study of the set of controllable systemscan be carried out. It turns out that the controllable systems are essentially those for wich the asociated linear system is also controllable. We conjectured that it is true for all the dimensions. The last part deal with the classification of quadratic systems in dimension 3. x=Q(x)+ub. The classification is from the controllability point of view and allows to check if a system is controllable or not
Cette thèse comporte trois parties indépendantes : 1) étude de la contrôlabilité en dimension trois, d'une paire de champs de vecteurs linéaires ou l'un d'entre eux est champs nilpotent d'ordre 2 ; 2) classification du point de vue de la contrôlabilité des systèmes affines a contrôles non bornes dans le plan ; 3) classification des systèmes quadratiques en dimension 3. La première partie concerne un problème difficile : la contrôlabilité d'une paire de champs de vecteurs linéaires en dimension 3. En effet il s'agit de déterminer la contrôlabilité d'un système à contrôles bornés, il est connu que ce genre de problème est difficile. Pour le type de paires considérées des conditions nécessaires et suffisantes sont données. Il semble que quelque chose de profond se produise au niveau des éléments nilpotents d'un groupe de Lie. C'est une voie qui mériterait d'être explorée plus avant. La deuxième partie donne des conditions nécessaires et suffisantes pour des systèmes affines en dimension 2, à contrôles non bornés, de contrôlabilité x=ax+u(dx+b). Ces conditions sont entièrement algébriques, dont calculables. Ce phénomène est dû à la faible dimension. Une étude topologique de l'ensemble des systèmes contrôlables peut être menée, et révèle que le système affine est transitif essentiellement quand le système linéaire associé est contrôlable. On conjecture que ce résultat est aussi vrai pour toute dimension. Enfin la troisième partie est consacrée à une classification des systèmes quadratiques en dimension 3, x=q(x)+ub. Cette classification est faite du point de vue de la contrôlabilité et permet de déterminer précisément si un tel système est contrôlable
Domaines
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