A theoretical and numerical study of homogenization problems and internal controllability problems
Etude théorique et numérique de problèmes d'homogénéisation et de problèmes de contrôlabilité interne
Abstract
In the first part, we are interested in asymptotic behaviour of a thin tall strcture ( a tower) depending on three small parameters. The convergences of these small parameters for a Poisson's problem are studied : theoretically for a tridimensional tower and numerically for a biodimensional tower. In the last step, one can justify the use of a domains decomposition method. The second part is concerned with some numerical methods for internal controllability of linear or non-linear waves equations. The numerical methods, which are described, are : fixed point method and conjugate gradient, simulated annealing. In a second step, we apply the former methods for the partial internal exact controllability. To includes this work, we study an approached controllability for the solution of the waves equation. The exact control of some moments of this solution can be used to control the solution of the waves equation problem. To solve numerically this controllability problem, we use a fixed point method and a conjugate gradient algorithm
Les deux premiers chapitres sont dédiés aux comportements asymptotiques d'une structure (une tour) élancée présentant une périodicité. On y étudie les convergences des petits paramètres pour un système de Poisson : d'abord théoriquement sur une tour tridimensionnelle, puis numériquement sur une tour bidimensionnelle. Dans cette dernière étape, on justifie l'emploi d'une méthode de décomposition de domaines. Les quatre chapitres suivants traitent de méthodes numériques pour la contrôlabilité interne de l'équation des ondes linéaire et non linéaire. On y développe des techniques pour la contrôlabilité interne exacte numérique : point fixe et gradient conjugue, recuit simule. Ces méthodes sont ensuite appliquées à la contrôlabilité interne partielle. Dans un second temps, on étudie une contrôlabilité approchée : la contrôlabilité des moments de la solution du problème d'ondes. Le contrôle obtenu permet aussi de contrôler la solution du problème d'ondes (contrôle par les moments). Numériquement, on utilise à nouveau les méthodes de gradient conjugué et de point fixe
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