Représentation étoile du revêtement universel du groupe hyperbolique et formule de Plancherel - Archive ouverte HAL Access content directly
Theses Year : 1995

Star representations of the universal covering group of the hyperbolic group and Plancherel formula

Représentation étoile du revêtement universel du groupe hyperbolique et formule de Plancherel


In this thesis, we apply a program of description and construction of irreductible unitary representation (I.U.R) of Lies groups by star deformation, to the universal covering group of the hyperbolic group. Let us denote by G this group. In chapter 1, we recall the definitions associated to the group G, and its I.U.R which are traditionally classified in three series : principal series, discrete series and complementary series. In chapter 2, we describe the representations of principales series using a star product equivalent to the Moyal product. We then define a star exponential and the restriction of the adapted Fourier transformation to an orbit. In chapter 3, we define and describe the deformation of the algebra of functions on the orbits associated to the representations of the discrete series of G, and we recall the construction of coherent states and Berezin symboles and corresponding star product. In chapter 4, we realize the complementary series of G as a star representation using a Moyal product on RxT and realize of the Lie algebra g of G as complex functions on RxT, wich is deformation of parametrisation of the cone. In chapter 5, we choose a Lebesgue measure on the dual g* of G and define a global adapted Fourier transformation E by glueing to guether the two constructions associated to principal series and discrete series. Finally, using the Plancherel formula for G, we show that the adapted Fourier transformation is a unitary transformation bitween L2 (G) and a space of square star integrable on g*, and that the plancharel formula is obtained by inverting E.
Dans cette thèse nous appliquons le programme de description et de construction des représentations unitaires irréductibles (R.U.I), par déformation (produit étoile) des algèbres de fonctions sur les orbites coadjointes, au groupe revêtement universel du groupe hyperbolique qu'on note : G. Dans le chapitre 1, on se contente de rappeler les définitions associées au groupe G, ainsi que ses R.U.I qui sont classées traditionnellement en trois séries : série principale, série discrète et série complémentaire. Dans le chapitre 2, on explicite les représentations de la série principale à l'aide d'un produit étoile équivalent au produit de Moyal. On définit ensuite l'exponentielle étoile. Ainsi, on donne la définition de la restriction de la transformée de Fourier adaptée à l'orbite. Dans le chapitre 3, on définit et on décrit la déformation de l'algèbre des fonctions sur les orbites associées aux représentations de la série discrète de G et on rappelle la construction des états cohérents et des symboles de Berezin. Dans la partie 4, on réalise la série complémentaire de G comme étoile représentation, en utilisant le produit de Moyal sur RxT et une réalisation de l'algèbre de Lie g de G en fonctions complexes sur RxT, qui est une déformation d'une paramétrisation du cône. Dans la partie 5, on choisit une mesure de Lebesque sur le dual g* de g et on définit la transformée de Fourier adaptée globale E en recollant les deux morceaux correspondant aux séries principales et discrète. Enfin, en utilisant la formule de Plancherel de G, on montre que la transformée de Fourier adaptée est une transformation unitaire entre L2 (G) et l'espace des fonctions de carrée étoile intégrables sur g*, et que la formule de Plancherel est obtenue en inversant E
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Mohamed Yahyai. Représentation étoile du revêtement universel du groupe hyperbolique et formule de Plancherel. Mathématiques générales [math.GM]. Université Paul Verlaine - Metz, 1995. Français. ⟨NNT : 1995METZ001S⟩. ⟨tel-01776868⟩
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