Periodic expansions of parametrized families of algebraic numbers : application to the search of units
Développements périodiques de familles paramétrées de nombres algébriquues : application à la recherche d'unité
Résumé
The main purpose of this work is the study of parametried families and the surch of fundamental units of these fields. We give the Voronoï algorithm expansion of two families of complex cubic fields, introduced by C. Levesque and G. Rhin and so we obtain a fundamental unit of these fields. We compare this expansion with Jacobi-Perron algorithm expansion and notice that they are closely connected for these two families. Then we proceed to several generalizations. First, we generalize these families to parametrized families of fields with degree higher than three. We study an expansion by the Jacobi-Perron algorithm and so we obtain an unit of these fields. Next, we give a generalization of Voronoï algorithm, which consists in the search of minimal points. We give a more general definition of minimal points and propose a new method to compute these points. Then, we conjecture sevral expansions of quartic numbers fields of unit rank 2. In the last part of this work, we describe an algorithm which allows us to compute the Jacobi-Perron algorithm (and particularly the continued fraction algorithm) expansion of algebraic numbers, using only integers
Ce travail est principalement consacré à l'étude de familles paramétrées de corps de nombres algébriques réels et à la recherche d'un système fondamental d'unités de ces corps. Nous donnons le développement par l'algorithme de Voronoi de deux familles paramétrées de corps cubiques non totalement réels, introduites par C. Levesque et G. Rhin et obtenons ainsi l'unité fondamentale de ces corps. Nous comparons ce développement avec celui par l'algorithme de Jacobi-Perron et constatons qu'ils sont très liés pour ces deux familles. Nous procédons ensuite à plusieurs généralisations. Premièrement nous généralisons ces familles à des familles paramétrées de corps de degré quelconque. Nous étudions un développement par l'algorithme de Jacobi-Perron et obtenons ainsi une unité de ces corps. Ensuite, nous généralisons l'algorithme de Voronoi, basé sur la recherche de points extrémaux, en donnant une définition plus générale de point extrémal et en décrivant une méthode de recherche de ces points. Nous conjecturons ainsi plusieurs développements dans des corps de degré 4 dont le rang du groupe des unités est 2. Dans une dernière partie nous décrivons une méthode de calcul de développement par l'algorithme de Jacobi-Perron (et en particulier en fraction continue) de nombres algébriques n'utilisant que des nombres entiers
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