Design and analysis of exact exponential algorithms : input-sensitive enumeration
Construction et analyse des algorithmes exacts et exponentiels : énumération input-sensitive
Résumé
Moon and Moser proved that the maximum number of maximal independent sets in a graph of n vertices is at most 3^{n/3}. This maximum number, called upper bound, is tight given the existence of a family of graphs with such a number called lower bound. Unlike the enumeration of maximal independent sets, having a tight bounds is not obvious at all. And it’s quite common in the “input-sensitive” enumeration to have a big gap. This problem concerns even the most studied sets as minimal dominating sets where the best known algorithm to enumerate those sets runs in time O(1.7159^n) and the best known lower bound is only 1.5704^n. During this thesis, we proposed a "Measure and Conquer" algorithm to enumerate all minimal dominating sets for chordal graphs in time O(1.5048^n). Minimal connected dominating sets and maximal irredundant sets, which are closely related to minimal dominating sets, were also studied. An enumeration algorithm of minimal connected dominating sets in convex bipartite graphs has been proposed with a running time in O(1.7254^n). Enumeration algorithms of maximal irredundant sets have also been given for chordal graphs, interval graphs, and forests in times O(1.7549^n), O(1.6957^n) and O(1.6181^n) respectively instead of the trivial algorithm in time O*(2^n). We complement these upper bounds by showing that there are forest graphs with Omega(1.5292^n) maximal irredundant sets. We proved also that every maximal irredundant set of a cograph is a minimal dominating set. This implies that the maximum number of those sets in cographs is Theta(15^{n/6}). Finally, to vary, we studied a new set has been defined recently: The minimal tropical connected set. A lower bound of 1.4961^n has been proposed but we failed to improve the upper bound of 2^n. Enumeration algorithms of minimal tropical connected sets have been given for cobipartite, interval and block graphs in times O*(3^{n/3}), O(1.8613^n) and O*(3^{n/3}) respectively. A lower bound of 1.4766^n for splits graphs and 3^{n/3} for cobipartite, interval graphs and block graphs have been provided. We proposed a new lower bound of 1.5848^n, as a perspective and in order to draw community attention to the maximum number of minimal total dominating sets.
Moon et Moser ont prouvé que le nombre maximum des ensembles stables maximaux dans un graphe de n sommets est au plus 3^{n/3}. Cette borne, appelée borne supérieure, est stricte vu l’existence d’une famille des graphes avec un tel nombre appelée borne inférieure. Au contraire de l’énumération des ensembles stables maximaux, avoir deux bornes qui se qui se coïncident n’est pas évident du tout. Et c’est assez courant dans l’énumération « input-sensitive » d’avoir un grand écart. Ce problème concerne même les ensembles les plus classiques comme les ensembles dominants minimaux où le meilleur algorithme connu pour énumérer ces ensembles est en O(1.7159^n) et la meilleure borne inférieure connue est seulement 1.5704^n. Durant cette thèse, on a proposé un algorithme « Mesurer pour Conquérir » pour énumérer tous les ensembles dominants minimaux dans les graphes cordaux en O(1.5048^n). On a étudié aussi l’énumération des ensembles dominants connexes minimaux et les ensembles irredondants maximaux qui sont très proches des ensembles dominants minimaux. On a proposé un algorithme d’énumération des ensembles dominants connexes minimaux dans les graphes bipartis convexes en O(1.7254^n). On a conçu aussi des algorithmes d’énumération des ensembles irredondants maximaux dans les graphes cordaux, les graphes d’intervalles et les forêts en O(1.7549^n), O(1.6957^n ) et O(1.6181^n) respectivement au lieu de l’algorithme trivial en O*(2^n). On a proposé aussi comme une borne inférieure une famille de forêts avec Omega(1.5292^n) ensembles irredondants maximaux. Dans le cas des cographes, l'écart entre les deux bornes est réduit à néant en montrant que le nombre maximum de ces ensembles est Theta(15^{n/6}). Afin de varier, on a étudié un nouvel ensemble défini récemment : L’ensemble tropical connexe minimal. On a proposé une borne inférieure de 1.4961^n, mais sans réussir à améliorer la borne supérieure de 2^n. On a proposé des algorithmes d’énumération des ensembles tropicaux connexes minimaux dans les graphes cobipartis, les graphes d’intervalles et les graphes blocs en O*(3^{n/3}), O(1.8613^n) et O*(3^{n/3}) respectivement. On a établi une borne inférieure de 1.4766^n pour les graphes scindés et de 3^{n/3} pour les graphes cobipartis, les graphes d’intervalles et les graphes blocs. Finalement, comme perspective et pour attirer l’attention de la communauté sur l’énumération des ensembles dominants totaux minimaux, on a montré que le nombre maximum de ces ensembles est Ω(1.5848^n).
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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