Avoidability of additive powers in combinatoric on words
Évitabilité de puissances additives en combinatoire des mots
Résumé
The present thesis is dedicated to the various aspects of the problem of avoiding additive cubes in the fixed points of morphisms. Problems concerning the avoidability of additive powers are closely related to questions in the theory of semigroups. Since the publication of the article of J. Cassaigne, J.D. Currie, L. Schaeffer and J.O. Shallit (2013) we know that it is possible to construct an infinite word over {0, 1 ,3, 4} that avoids additive cubes, i.e., a word that avoids three consecutive blocks of same size and same sum. We first explain the methods used by the authors in their article, and then use it as a starting point for our discussions, with the ultimate aim to clarify the various similarities and connections between the different morphisms that allow to avoid additive cubes on alphabets over 4 letters. We next discuss our implementation in C++ of the investigation of theses morphisms, and then proceed to give an infinite family of morphisms (corresponding to classes of equivalence) that avoid additive cubes. After this investigation, we give a general proof scheme that is based on substitutions between morphisms. The main result of the thesis is that for any alphabet of 4 letters, with the sole exception of the alphabet {0, 1 ,2, 3} and its affine transformations, there is an explicit morphism whose infinite fixed point avoids additive cubes over the given alphabet. This work has been carried out in collaboration with Matthieu Rosenfeld and gave rise to an article in a peer-reviewed journal. In order to show this result, we use arguments from the article of Cassaigne et al., several numerical estimates for the underlying quantities, case disjunction as well as symmetry considerations for the alphabets under consideration. In the final part of the thesis we then study the question of avoiding additive cubes over {0, 1 ,2, 3} with the hope to answer a question posed by M. Rao and M. Rosenfeld in 2018. This alphabet is the only 4-letters alphabet where our result does not apply. We first study by graphical means the words that contain additive powers, and we discuss and implement in a second step two parallelized computer programs. The first program detects in an efficient way the occurrence of additive powers in very long words, whereas the second one allows to create long words over {0, 1 ,2, 3} without introducing any additive cube. With the help of these programs, we obtain a word of over 70 million letters that avoids additive cubes over {0, 1 ,2, 3}. This largely improves on the former known bound (1.4 x 10^5). To obtain our result, as suggested by our graphical considerations, we periodically reverse the order of priority for the choice of the letters in the construction of our word. Our programs use multi-computers and multi-threads settings to gain considerably on efficiency.
Ce document est principalement consacré à l'étude de l'évitabilité des cubes additifs dans les points fixes de morphismes. Les problèmes d'évitabilité des puissances additives sont connus pour avoir des implications dans la théorie des semi-groupes. Depuis un article publié en 2013 par J. Cassaigne, J.D. Currie, L. Schaeffer et J.O. Shallit, nous savons qu'il est possible de construire sur l'alphabet {0,1,3,4} un mot infini qui évite les cubes additifs, i.e., un mot qui ne contient pas trois facteurs consécutifs de même taille et même somme. Nous commençons par expliquer notre démarche de recherche avec cet article comme point de départ et par discuter des similarités entre les différents morphismes permettant d'éviter les cubes additifs sur des alphabets de 4 lettres. Nous expliciterons la façon dont nous avons programmé en C++ la recherche de morphismes créant des mots infinis sans puissances additives. Nous étendons ensuite la preuve de l'article de 2013 à un ensemble infini de morphismes (correspondant à une classe d'équivalence). Après l'étude d'un exemple nous développons une démonstration basée sur des substitutions entre les morphismes. Le résultat principal de ce document est qu'il est possible de donner, sur chaque alphabet de 4 lettres qui ne soit pas une transformation affine de {0,1,2,3}, un morphisme explicite possédant un point fixe infini sans cubes additifs. Ce travail, effectué en collaboration avec Matthieu Rosenfeld, a donné lieu à la publication d'un article. Pour démontrer ce résultat nous utilisons un argument contenu dans l'article de 2013, des majorations effectuées après disjonction des cas et des arguments de symétries entre les alphabets. Enfin, nous nous intéressons à l'évitabilité des cubes additifs sur {0,1,2,3} afin de tenter de répondre à une question posée en 2018 par M. Rao et M. Rosenfeld. Cet alphabet est le seul de quatre lettres pour lequel notre résultat principal n'apporte pas de réponse. Nous représentons graphiquement les mots possédant des puissances additives et nous développons deux programmes informatiques parallélisés. Le premier permet de détecter efficacement les puissances additives dans un mot très long, le second permet de créer un mot de plus de 70 millions de lettres sans cube additif sur {0,1,2,3}. Nous améliorons ainsi significativement la précédente borne connue (1.4x 10^5). Pour parvenir à ce résultat nous inversons périodiquement l'ordre de priorité pour le choix des lettres dans la construction du mot comme nous le suggéraient les représentations graphiques. Nos programmes utilisent des approches à la fois multi-ordinateurs et multi-threads pour gagner en efficacité.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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