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Theses

Ensembles de petite somme et ensembles de Sidon, étude de deux extrêmes

Abstract : Notre projet se situe dans le domaine de la combinatoire additive. Il s’agit plus précisément de déterminer la taille maximale d’un sous-ensemble A d’un groupe fini G qui ne contient pas de triplets (a,a+d,a+2d) d’éléments distincts. On dit alors que A est sans progression arithmétique. Une telle progression (PA3) est en fait un exemple à la fois simple et naturel de structure additive que l’on s’attend à trouver dans un ensemble « assez gros ». Toute la difficulté consiste à déterminer ce que « assez gros » signifie ici. La recherche de la taille maximale d’un ensemble sans progression arithmétique est un problème désormais classique en combinatoire additive. Elle a donné lieu à des travaux célèbres des meilleurs spécialistes du domaine. On distingue deux aspects du problème : la détermination d’une taille au-delà de laquelle on est assuré que A possède des PA3, ce qui donne une majoration de la taille maximale d’un ensemble sans PA3, et la construction de gros ensembles sans PA3, ce qui en donne une minoration. Nous insisterons plus particulièrement sur la construction d’ensembles sans PA3 dans les groupes finis Z_q^n avec q petit. On commencera par une optimisation numérique des ensembles de base utilisés dans les constructions déjà connues et une généralisation à d’autres entiers q. On cherchera également à adapter une construction de Ruzsa à ce contexte. Cela permettra d‘aborder les difficultés de manière progressive en commençant par des manipulations combinatoires sur un groupe de base de petit cardinal autorisant donc une approche numérique.
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https://hal.univ-lorraine.fr/tel-03368154
Contributor : Thèses UL Connect in order to contact the contributor
Submitted on : Wednesday, October 6, 2021 - 3:55:22 PM
Last modification on : Monday, November 29, 2021 - 10:49:09 AM
Long-term archiving on: : Friday, January 7, 2022 - 7:22:31 PM

File

DDOC_T_2021_0127_RIBLET.pdf
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  • HAL Id : tel-03368154, version 1

Citation

Robin Riblet. Ensembles de petite somme et ensembles de Sidon, étude de deux extrêmes. Mathématiques [math]. Université de Lorraine, 2021. Français. ⟨NNT : 2021LORR0127⟩. ⟨tel-03368154⟩

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