Conjecture d’Artin sur les racines primitives généralisées parmi les entiers avec peu de facteurs premiers

Paul Péringuey

Résumé

In this thesis we are interested in a generalization of the notion of primitive root proposed by Carmichael: an integer $a$ is a generalized primitive root modulo a positive integer $n$ if it generates a subgroup of maximal size in $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$. More precisely, we study an analogue of Artin's conjecture for primitive roots in this framework. Artin's conjecture states that the proportion of primes smaller than $x$, for which a given integer $a$ is a primitive root, converges to a nonzero limit as long as $a$ is neither $-1$ nor a square. This conjecture was proved conditionally on the generalized Riemann hypothesis for certain numbers fields by Hooley in 1967. By analogy with Artin's conjecture we count the number of elements of a subset of positive integers $A$ smaller than $x$ for which a given integer $a$ is a generalized primitive root. The case where the set $A$ is the set of all positive integers has already been treated by Li and Pomerance in various papers. In the first chapter of this thesis we introduce a characterization of generalized primitive roots modulo an integer $n$ in terms of the prime factorization of $n$, and then we describe a heuristic approach to the problem. The second chapter is devoted to the case where the set $A$ is the set of $ell$ almost primes, i.e. the integers having at most $ell$ prime factors. Using sieve methods, results from algebraic number theory, the Selberg-Delange method and some combinatorial arguments we prove, conditionally on the generalized Riemann hypothesis, results similar to those obtained by Hooley for the Artin conjecture. Moreover, we show unconditionally an upper bound for the proportion of almost primes for which $a$ is a generalized primitive root. Finally we show that in the special case where $ell=2$, a better error term can be obtained by replacing the Selberg-Delange method by the hyperbola method. In the third and last chapter we consider the case where $A$ is the set of sifted $x^heta$ integers, i.e. the integers having no prime factor smaller than $x^heta$, for $0

Dans cette thèse nous nous intéressons à une généralisation de la notion de racine primitive proposée par Carmichael : un entier $a$ est une racine primitive généralisée modulo un entier positif $n$ s'il engendre un sous-groupe de taille maximale dans $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$. Plus précisément, nous étudions un analogue de la conjecture d'Artin pour les racines primitives dans ce cadre. La conjecture d'Artin stipule que la proportion de nombres premiers plus petits que $x$, pour lesquels un entier $a$ donné est un racine primitive, converge vers une limite non nulle du moment que $a$ n'est ni $-1$ ni un carré. Cette conjecture a été démontrée conditionnellement à l'hypothèse de Riemann généralisée pour certains corps de nombres par Hooley en 1967. Par analogie avec la conjecture d'Artin nous comptons le nombre d'éléments d'un sous-ensemble des entiers positifs $A$ plus petits que $x$ pour lesquels un entier $a$ donné est une racine primitive généralisée. Le cas où l'ensemble $A$ est l'ensemble de tous les entiers positifs ayant déjà été traité par Li et Pomerance dans divers articles. Dans le premier chapitre de cette thèse nous introduisons une caractérisation des racines primitives généralisée modulo un entier $n$ en fonction de la factorisation en produit de facteurs premiers de $n$, puis nous décrivons une approche heuristique du problème. Le second chapitre est consacré au cas où l'ensemble $A$ est l'ensemble des nombres $ell$ presque premier, c'est à dire les entiers ayant au plus $ell$ facteurs premiers. En utilisant des méthodes de crible, des résultats de théorie algébrique des nombres, la méthode de Selberg-Delange et quelques arguments combinatoires nous démontrons, conditionnellement à l'hypothèse de Riemann généralisée, des résultats analogues à ceux obtenus par Hooley pour la conjecture d'Artin. De plus, nous montrons inconditionnellement une borne supérieure pour la proportion de presque premiers pour lesquels $a$ est une racine primitive généralisée. Enfin nous montrons que dans le cas particulier où $ell=2$, un meilleur terme d'erreur peut être obtenu en remplaçant la méthode de Selberg-Delange par la méthode de l'hyperbole. Dans le troisième et dernier chapitre nous nous penchons sur le cas où $A$ est l'ensemble des entiers $x^heta$ criblés, c'est-à-dire les entiers n'ayant aucun facteur premier plus petit que $x^heta$, pour $0

Mots clés

Primitive roots Artin's conjecture Field extension Selberg-Delange method Sieve methods

Racines primitives Conjecture d'Artin Extension de corps Méthode de Selberg-Delange Méthodes de crible

Domaines

Théorie des nombres [math.NT]

Fichier principal

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Origine	Fichiers produits par l'(les) auteur(s)

Artin's conjecture on generalized primitive roots among integers with few prime factors