Morphisms of Drinfeld Modules and their Algorithms
Morphismes de modules de Drinfeld et leurs algorithmes
Résumé
We are interested in the algorithmics of Drinfeld modules, aiming for applications in formal calculation and cryptography. Drinfeld modules are to function fields what elliptic curves are to number fields. We propose three main contributions: - The efficient computation of characteristic polynomials of endomorphisms and norms of isogenies of Drinfeld modules. Our algorithms are based on the correspondence between Drinfeld modules and Anderson motives. In the case of the Frobenius endomorphism, we describe another algorithm, based on the computation of a reduced norm in a central simple algebra. - The efficient computation of a group action stemming from the class field theory of function fields. An analogue of this action is known in number fields in the construction of the Couveignes-Rostovtsev-Stolbunov cryptosystem. Its execution is relatively slow, and our version uses the arithmetic of function fields to achieve reduced computation times. - The integration of Drinfeld modules into SageMath. We propose the first implementation of Drinfeld modules that is integrated into a major formal calculation software.
Nous nous intéressons à l'algorithmique des modules de Drinfeld, visant des applications au calcul formel et à la cryptographie. Les modules de Drinfeld sont aux corps de fonctions ce que les courbes elliptiques sont aux corps de nombres. Nous proposons trois contributions principales : - Le calcul efficace de polynômes caractéristiques d'endomorphismes et de normes d'isogénies de modules de Drinfeld. Nos algorithmes sont basés sur la correspondance entre les modules de Drinfeld et les motifs d'Anderson. Dans le cas de l'endomorphisme de Frobénius, nous décrivons un autre algorithme, basé sur le calcul d'une norme réduite dans une algèbre simple centrale. - Le calcul efficace d'une action de groupe issue de la théorie du corps de classes des corps de fonctions. Un analogue de cette action est connu dans les corps de nombres dans la construction de cryptosystème de Couveignes-Rostovtsev-Stolbunov. Son exécution est relativement lente, et notre version se sert de l'arithmétique des corps de fonctions pour aboutir à des temps de calcul réduits. - L'intégration des modules de Drinfeld dans SageMath. Nous proposons la première implémentation des modules de Drinfeld qui soit intégré dans un logiciel de calcul formel majeur.
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