Petits écarts entre les nombres premiers - Université de Lorraine Access content directly
Master Thesis Year : 2015

Petits écarts entre les nombres premiers

Abstract

The aim of this report was to study in detail Maynard's article which was published in 2013. In this article, the author introduced a refinement of a method created by Goldston, Pintz and Yildirim based on sieve methods, called GPY sieve method, for studying prime k-tuples and small gaps between primes. This refinement avoids previous limitations of the method and allows to show that for each k, the prime k-tuples conjecture holds for a positive proportion of admissible k-tuples. In particular, lim infn(pn+m-pn) < [infinite] fot every integer m. In this article, it was also showed that lim infn(pn+1-pn) [below or equal] 600 and, if the Elliott-Halberstam conjecture if assumed, then lim infn(pn+1-pn) 6 12 and lim infn(pn+2- pn) [below or equal] 600.
Le but de ce rapport est d'étudier en détail l'article de James Maynard publié en 2013. Cet article constituait une étape supplémentaire dans la démonstration de la conjecture des nombres premiers jumeaux. En effet, si on note pn le n-ième nombre premier et dn = pn+1-pn, cette conjecture serait équivalente à lim infn dn = 2. Or avant la publication de cet article, on avait su prouver que lim infn dn [inférieur ou égal] 7.10 [puissance] 7. Maynard, quand à lui, réussit à réduire la majoration à 600 en montrant d'abord que lim infn(pn+m-pn) est fini. Pour cela, il reprend une méthode mise en place par Goldston, Pintz et Yilldirim, appelée méthode GPY, et qui utilise le crible de Selberg. L'originalité de l'auteur est de généraliser ce crible à une dimension supérieure. On peut noter que la méthode GPY nécessite le théorème de Bombieri-Vinogradov. Maynard a su également montrer dans cet article que si on admet une généralisation de ce théorème, appelée conjecture de Elliott-Halberstam, alors la borne 600 peut être réduite à 12 et lim infn(pn+2-pn) [inférieur ou égal] 600.

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hal-01828891 , version 1 (03-07-2018)

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  • HAL Id : hal-01828891 , version 1

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Cite

David Feutrie. Petits écarts entre les nombres premiers. Mathématiques [math]. 2015. ⟨hal-01828891⟩
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