Ce mémoire est relatif à l'étude des processus stochastiques sur les algèbres de hopf. Ces algèbres jouent un rôle important en physique mathématique sous le nom groupes quantiques. Une grande partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus de levy, c.-à-d. des processus à accroissements indépendants et stationnaires, sur ces algèbres. Deux constructions, soit à partir d'un processus de levy classique, soit à partir d'une marche aléatoire quantique, sont proposées. Ces processus sont ensuite étudiés à l'aide des représentations duales et de leurs systèmes d'appel. En particulier, ceci a permis de démontrer une formule de Feynman-kac et d'établir un lien étroit entre ces processus et des équations d'évolution sur les groupes quantiques. Les représentations duales sont également utilisées pour donner des conditions suffisantes pour l'existence de versions classiques des processus de levy sur des bigebres et pour les caractériser. Plusieurs exemples, y compris la martingale d'Azéma, sont traités en détail. Un autre thème central de ce travail est la caractérisation des lois de gauss au sens de Bernstein. Il est montré comment les fonctionnelles ainsi que les semi-groupes de convolution sur des algèbres de hopf qui satisfont l'analogue de la propriété de Bernstein peuvent être calculés. Il est aussi démontré que le plongement d'une fonctionnelle normée infiniment divisible dans un semi-groupe de convolution continu sur un groupe quantique nilpotent ou sur un groupe tresse nilpotent est unique. Finalement, plusieurs théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème de la limite centrale, etc.) sur les groupes quantiques sont présentés.