On some problems of Malliavin calculus and its application to nonlinear filtering theory
Sur quelques problèmes concernant le calcul de Malliavin et son application à la théorie du filtrage non linéaire
Résumé
The aim of this work is to some problems of Malliavin calculus and its application to nonlinear filtering theory. It is divided in five chapters and one appendix. In chapter I we present some generalities on the Malliavin calculus and the theory of nonlinear filtering. We give the main ideas of these two theories and we recall the classical results that we need in the following chapters. The aim of chapters II, III and V is to study diffusions with time dependent coefficients under different conditions. In chapter II we suppose that on a sub-manifold of codimension 1 we have an exponential degenerencence condition, weaker than the general Hörmander condition. In chapter III we study diffusions generated by an infinity of Brownian motions and in chapter V we consider diffusions on riemannian manifolds. In the latter chapters, we establish a Malliavin calculus permitting to prove the existence of a smooth density for these diffusions. Furthermore, the results of Malliavin calculus are used to show that the unnormalized filter associated with a nonlinear filtering system, which admits the diffusion studied in the previous chapter as signal process, has a smooth density. In chapter IV we consider a nonlinear filtering system with an observation process depending on a white noise of order E. We define a suboptimal filter of finite dimension and we show that the error commited by replacing the filter by the suboptimal filter is of order E. In the appendix we derive the filtering equations associated with a nonlinear filering system with an infinite dimensional signal process and we give a robust form of the Zakai equation in the case of non correlated noises
Le présent travail est consacré à l'étude de quelques problèmes de calcul de Malliavin et à l'application de cette théorie au filtrage non linéaire. Elle est divisée en cinq chapitres et une annexe. Le chapitre i est consacré à des généralités sur le calcul de Malliavin et la théorie du filtrage non linéaire. On y expose les idées essentielles de ces deux théories et on rappelle, sans démonstrations, les résultats classiques nécessaires à la lecture des chapitres suivants. Le but des chapitres ii, iii et v est l'étude de diffusions à coefficients dépendant du temps sous certaines conditions. Dans le chapitre ii, on suppose une condition de non dégénérescence exponentielle moins forte que la condition de Hörmander dans une sous-variété de codimension 1. Dans le chapitre iii, on étudie des diffusions engendrées par une infinité de processus de Wiener et dans le chapitre v on considère des diffusions sur des variétés riemanniennes. A chaque fois, on établit un calcul de Malliavin permettant de montrer l'existence d'une densité régulière pour ces diffusions. Les résultats de calcul de Malliavin sont de plus à chaque fois utilisés pour montrer que le filtre non normalisé associé à un système de filtrage non linéaire admettant comme signal la diffusion étudiée dans le chapitre respectif admet une densité régulière. Dans le chapitre iv, on considère un système de filtrage non linéaire ou l'observation dépend d'un bruit blanc d'ordre E. On définit un filtre presque optimal de dimension finie et on montre que l'erreur commise en remplaçant le filtre par le filtre presque optimal est d' ordre E. Dans l'annexe, on établit les équations de filtrage associées à un système de filtrage non linéaire avec un signal de dimension infinie et on donne une forme robuste de l'équation de Zakai, dans le cas où les bruits sont indépendants
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