On the stability and the stabilization of discrete nonlinear systems
Sur la stabilité et la stabilisation de systèmes non linéaires discrets
Résumé
Our concern in this work is the folowing ithems : 1)stability and stabilization of discrete time systems : the aim is to presente some new results on the stability theory. We give a sufficent condition for stability of discrete time nonlinear systems. We show how to use semi definite function instead of a definite one for the qualitative study of a given system. This approach extends the basic result in Lyapunov theory. The interest of semi definite function than a definite one. We apply the results that we get to the study of the stability (center manifold, cascade systems, the link detectability --stability), and to the feedback stabilisation problems (cascade systems, dissipative systems, stabilization by estimited state feedback,...). These applications show that the use of semi definite Lyapunov functions allows to get a simple and nice proofs. 2) Stabilization of non-autonomuous periodic systems : we give a discrete version of a Krasovski theorem for non-autonomuous periodic systems. This allows us to give a sufficent condition for stabilization of periodic discrete time nonlinear systems. A computation of an explicite time periodic feedback is given. We apply the result to give a systematic way to design time variant feedback for autonomuous discrete time systems that cannot be stabilized via a time invariant continuous feedback. 3)Stabilization of dissipative continuous non affine control systems : we generalise the result of Jurdjevic and Quinn for affine systems to nonaffine control systems in both deterministic and stochastic cases
Ce travail porte sur les thèmes suivants : 1) stabilité et stabilisation des systèmes discrets : le but est de présenter quelques nouveaux résultats de stabilité. Il s'agit de conditions suffisantes de stabilité pour les systèmes non linéaires en temps discret. On montre comment on peut utiliser des fonctions semi définies comme fonctions de Lyapunov à la place de fonctions définies positives pour l'étude qualitative d'un système donné. Ceci étend l'intérêt des résultats classiques de Lyapunov. L'avantage des fonctions semi définies est qu'elles sont plus facile à trouver que celles qui sont définies. On applique ces résultats à l'étude de la stabilité (variété centrale, systèmes en cascade, lien détectabilité-stabilité..), ainsi qu'à des problèmes de stabilisation par retour d'état (systèmes en cascade, systèmes dissipatifs, stabilisation par retour d'état estimé). A travers ces applications on remarquera que l'utilisation des fonctions semi définies permet d'avoir des preuves simples et élégantes. 2) stabilisation des systèmes non autonomes périodiques : on donne une version discrète du théorème de Krasovski pour les systèmes non autonomes périodiques. Ceci nous permet d'établir des conditions suffisantes de stabilisations des systèmes non autonomes périodiques. Un calcul explicite du feedback stabilisant est donné. En particulier on donne une application à la stabilisation des systèmes discrets autonomes qui ne sont pas stabilisables par un feedback continu. 3) stabilisation des systèmes continus dissipatifs non affinés en contrôle. On généralise le résultat de Jurdjevic et Quinn pour les systèmes affines en contrôle aux systèmes non affines en contrôle déterministes et stochastiques
Domaines
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