Steklov and Neumann eigenvalues : inequalities, asymptotic and mixed problems
Valeurs propres de Steklov et de Neumann : inégalités, problèmes asymptotiques et problèmes mixtes
Résumé
This thesis is devoted to the study of Neumann eigenvalues, Steklov eigenvalues and relations between them. The initial motivation of this thesis was to prove that, in the plane, the product between the perimeter and the first Steklov eigenvalue is always less then the product between the area and the first Neumann eigenvalue. Motivated by finding counterexamples to this inequality, in the first part of this thesis, we give a complete description of the asymptotic behavior of the Steklov eigenvalues in a dumbbell domain consisting of two Lipschitz sets connected by a thin tube with vanishing width. Using these results in the two dimensional case we find that the inequality is not always true. We study the inequality in the convex setting, proving a weaker form of the inequality for all convex domains and proving the inequality for a special class of convex polygons. We then also give the asymptotic behavior for Neumann and Steklov eigenvalues on collapsing convex domains, linking in this way these two eigenvalues with Sturm-Liouville type eigenvalues. In the second part of this thesis, using the results concerning the asymptotic behavior of Neumann eigenvalues on collapsing domains and a fine analysis of Sturm-Liouville eigenfunctions we study the maximization problem of Neumann eigenvalues under diameter constraint. In the last part of the thesis we study the mixed Steklov-Dirichlet. After a first discussion about the regularity properties of the Steklov-Dirichlet eigenfunctions we obtain a stability result for the eigenvalues. We study the optimization problem under a measure constraint on the set in which we impose Steklov boundary conditions, we prove the existence of a minimizer and the non-existence of a maximizer. In the plane we prove a continuity result for the eigenvalues under some topological constraint.
Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs propres de Neumann, des valeurs propres de Steklov et des relations entre elles. La motivation initiale de cette thèse était de prouver que, dans le plan, le produit entre le périmètre et la première valeur propre de Steklov est toujours inférieur au produit entre l'aire et la première valeur propre de Neumann. Motivés par la recherche de contre-exemples à cette inégalité, nous donnons, dans la première partie de cette thèse, une description complète du comportement asymptotique des valeurs propres de Steklov dans un domaine en haltère constitué de deux ensembles de Lipschitz reliés par un tube mince de largeur qui va à zéro. En utilisant ces résultats dans le cas bidimensionnel, nous trouvons que l'inégalitè n'est pas toujours vraie. Nous étudions l'inégalité dans le cadre convexe, en prouvant une forme plus faible de l'inégalité pour tous les domaines convexes et en prouvant l'inégalité pour une classe spéciale de polygones convexes. Nous donnons également le comportement asymptotique des valeurs propres de Neumann et de Steklov sur des domaines convexes qui s'effondrent, en reliant de cette façcon ces deux valeurs propres aux valeurs propres de type Sturm-Liouville. Dans la deuxième partie de cette thèse, en utilisant les résultats concernant le comportement asymptotique des valeurs propres de Neumann sur les domaines effondrés et une analyse fine des fonctions propres de Sturm-Liouville, nous étudions le problème de maximisation des valeurs propres de Neumann sous contrainte de diamètre. Dans la dernière partie de la thèse, nous étudions le valeurs propres de Steklov-Dirichlet. Après une première discussion sur les propriétés de régularité des fonctions propres de Steklov-Dirichlet, nous obtenons un résultat de stabilité pour les valeurs propres. Nous étudions le problème d'optimisation sous une contrainte de mesure sur l'ensemble dans lequel nous imposons des conditions de Steklov, nous prouvons l'existence d'un minimiseur et la non-existence d'un maximiseur. Dans le plan, nous prouvons un résultat de continuité pour les valeurs propres sous une certaine contrainte topologique.
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