Théorie spectrale et théorie de la diffusion pour des opérateurs non-auto-adjoints
Spectral theory and scattering theory for non-self-adjoint operators
Abstract
In this thesis, we consider non-self-adjoint operators in Hilbert spaces of the form $H=H_0+CWC$, where $H_0$ is self-adjoint, $W$ is bounded and $C$ is bounded and relatively compact with respect to $H_0$. We suppose that $C$ is a metric operator and that $C(H_0-z)^{-1}C$ is uniformly bounded in $zinmathbb{C}setminusmathbb{R}$. We define the spectral singularities of $H$ as the points of the essential spectrum $lambdainsigma_{mathrm{ess}}(H)$ such that $C(H-lambdapm ivarepsilon)^{-1}CW$ does not have a limit as $varepsilonto0^+$. First we study the spectral structure of this model. We prove that the spectral singularities of $H$ are in one-to-one correspondence with the eigenvalues, associated to resonant states, of an extension of $H$ to a larger Hilbert space. Next, we show that the asymptotically disappearing states for $H$, i.e. the set of vectors $varphi$ such that $e^{pm itH}varphito0$ as $ttoinfty$, coincide with the generalized eigenstates of $H$ corresponding to eigenvalues $lambdainmathbb{C}$, $mpmathrm{Im}(lambda)>0$. Finally, we define the absolutely continuous spectral subspace of $H$ and show that it satisfies $Hi_{mathrm{ac}}(H)=Hi_{mathrm{p}}(H^star)^perp$, where $Hi_{mathrm{p}}(H^star)$ stands for the point spectrum of $H^star$. We thus obtain a direct sum decomposition of the Hilbert spaces in terms of spectral subspaces of $H$. Next we study the asymptotic behavior of $e^{pm itH}varphi$ as $t$ to $infty$ through scattering theory. We define the regularized wave operators associated to $H$ and $H_0$ by $W_pm(H,H_0):=displaystyleslim_{trightarrowinfty} e^{pm itH}r_mp(H)Pi_mathrm{p}(H^star)^perp e^{mp itH_0}$ where $Pi_mathrm{p}(H^star)$ is the projection onto $Hi_mathrm{p}(H^star)$ and $r_mp$ is a rational function that regularizes the `incoming/outgoing spectral singularities' of $H$. We prove the existence and study the properties of the regularized wave operators. In particular we show that they are asymptotically complete if $H$ does not have any spectral singularity. Finally we construct solutions to the abstract Schrödinger equation associated to $H$ in the case where the non-self-adjoint perturbation $CWC$ is unbounded. Our results apply to Schrödinger operators with complex potentials.
Dans cette thèse, nous considérons un opérateur non-auto-adjoint sur un espace de Hilbert de la forme $H=H_0+CWC$, où $H_0$ est auto-adjoint, $W$ est un opérateur borné et $C$ est un opérateur relativement compact par rapport à $H_0$. De plus on suppose que $C$ est un opérateur positif et injectif tel que $CRes_0(z)C$ est uniformément borné pour $zinCbackslashR$. Nous définissons les singularités spectrales de $H$ comme l'ensemble des $lambdainsigma_mathrm{ess}(H_0)$ du spectre de $H$ tel que $CRes_H(lambdapm i0^+)CW$ n'a pas de limite quand $varepsilonrightarrow 0^+$. D'abord nous étudions la structure spectrale de ce modèle. Nous prouvons que les singularités spectrales de $H$ sont en bijection avec les valeurs propres, associées à des états résonants, d'une extension de $H$ à un espace de Hilbert plus gros. Ensuite nous montrons que les états qui disparaissent à l'infini pour $H$, c'est à dire l'ensemble des vecteurs $varphi$ tels que $e^{pm itH}varphito 0$ quand $trightarrowinfty$, coïncident avec l'ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs propres généralisés de $H$ associés à des valeurs propres $lambdainmathbb{C}$, $mpmathrm{Im}(lambda)>0$. Finalement, nous définissons le sous-espace spectral absolument continu de $H$ et montrons qu'il satisfait l'égalité $Hi_{mathrm{ac}}(H)=Hi_{mathrm{p}}(H^star)^perp$, où $Hi_{mathrm{p}}(H^star)$ est le spectre ponctuel de $H^star$. Ainsi nous obtenons une décomposition en somme direct de l'espace de Hilbert en terme de sous-espace spectraux de $H$. Ensuite nous étudions le comportement asymptotique des états $e^{pm itH}varphi$ du système au temps $t$ à l'aide de la théorie de la diffusion. Nous définissons les opérateurs d'onde associés à $H$ et $H_0$ par $W_pm(H,H_0):=displaystyleslim_{trightarrowinfty} e^{pm itH}r_mp(H)Pi_mathrm{p}(H^star)^perp e^{mp itH_0}$, où $Pi_mathrm{p}(H^star)$ est la projection sur $Hi_mathrm{p}(H^star)$ et $r_mp$ est une fonction rationnelle régularisant les singularités spectrales entrantes/sortantes de $H$. Nous prouvons l'existence de ces opérateurs d'onde régularisés et étudions leurs propriétés. En particulier, nous montrons qu'ils sont asymptotiquement complets si $H$ n'a pas de singularités spectrales. Enfin, nous construisons des solutions de l'équation de Schrödinger abstraite associée à $H$ dans le cas où la perturbation $CWC$ n'est plus bornée. Nos résultats s'appliquent à des opérateurs de Schrödinger avec des potentiels à valeurs complexes.
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