Positivity on irreducible holomorphic symplectic manifolds - Université de Lorraine Access content directly
Theses Year : 2023

Positivity on irreducible holomorphic symplectic manifolds

Positivité sur les variétés irréductibles holomorphes symplectiques

Abstract

In this thesis, we study some aspects of the positivity of divisors on irreducible holomorphic symplectic (IHS) manifolds. Fix a projective IHS manifold $X$ of complex dimension $2n$. Inspired by the work of Bauer, Küronya, and Szemberg, we show that the big cone of $X$ has a locally finite decomposition into locally rational polyhedral subcones, called Boucksom-Zariski chambers. These subcones have a geometric meaning: on any of them, the volume function is expressed by a homogeneous polynomial of degree $2n$. Furthermore, in the interior of any Boucksom-Zariski chamber, the divisorial part of the augmented base locus of big divisors stays the same. After analysing the big cone, we determine the structure of the pseudo-effective cone of $X$, generalising a result due to Kovács for K3 surfaces. In particular, we show that if the Picard number of $X$ is at least 3, the pseudo-effective cone either is circular or does not contain circular parts and is equal to the closure of the cone generated by the prime exceptional divisor classes. From this result in convex geometry, we deduce some geometric properties of $X$ and show the existence of rigid uniruled divisors on some singular symplectic varieties. We study the behaviour of the asymptotic base loci of big divisors on $X$, and we provide a numerical characterisation for them. As a consequence of this numerical characterisation, we obtain a description for the dual of the cones $\mathrm{Amp}_k(X)$, for any $1\leq k \leq 2n$, where $\mathrm{Amp}_k(X)$ is the convex cone of big divisor classes having an augmented base locus of dimension strictly smaller than $k$. Using the divisorial Zariski decomposition, the Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) form, and the decomposition of the big cone of $X$ into Boucksom-Zariski chambers, we associate to any big divisor class $\alpha$ and a prime divisor $E$ on $X$ a polygon $\Delta_E(\alpha)$ whose geometry is related to the variation of the divisorial Zariski decomposition of $\alpha$ in the big cone. Its euclidean volume is expressed in terms of the BBF form and is independent of the choice of $E$. We show that these polygons fit in a convex cone $\Delta_E(X)$ as slices, globalising in this way the construction. To conclude, we show that under some hypothesis, the polygons $\Delta_E(\alpha)$ can be expressed as Minkowski sums of some polygons $\{\Delta_E(\beta_i)\}_{i \in I}$, for some big classes $\{\beta_i\}_{_ i\in I}$. Remarkably, these polygons behave like the Newton-Okounkov bodies of big divisors on smooth projective surfaces.
Dans cette thèse, nous étudions certains aspects de la positivité des diviseurs sur les variétés irréductibles holomorphes symplectiques (IHS). Fixons une variété IHS projective $X$ de dimension complexe $2n$. Inspirés par le travail de Bauer, Küronya et Szemberg, nous montrons que le cône big de $X$ a une décomposition localement finie en sous-cônes localement rationnels polyhédraux, qu'on appelle chambres de Boucksom-Zariski. Ces sous-cônes ont une signification géométrique \nolinebreak : sur chacun d'eux, la fonction volume est exprimée par un polynôme homogène de degré $2n$. De plus, à l'intérieur de toute chambre de Boucksom-Zariski, la partie divisorielle du lieu base augmenté des diviseurs big reste la même. Après avoir analysé le cône big, nous déterminons la structure du cône pseudo-effectif de $X$, généralisant ainsi un résultat de Kovács pour les surfaces K3. En particulier, nous montrons que si le nombre de Picard de $X$ est au moins 3, le cône pseudo-effectif de $X$ est soit circulaire, soit ne contient pas de parties circulaires et est égal à la clôture du cône engendré par les classes des diviseurs premiers exceptionnels. De ce résultat en géométrie convexe, nous déduisons quelques propriétés géométriques de $X$ et nous montrons l'existence de diviseurs rigides uniréglés sur certaines variétés symplectiques singulières. Nous étudions le comportement des lieux de base asymptotiques des diviseurs big sur $X$ et nous en donnons une caractérisation numérique. En conséquence de cette caractérisation numérique, nous obtenons une description des duaux des cônes $\mathrm{Amp}_k(X)$, pour tout $1\leq k \leq 2n$, où $\mathrm{Amp}_k(X)$ est le cône convexe des classes des diviseurs big ayant un lieu base augmenté de dimension strictement plus petite que $k$. En utilisant la décomposition divisorielle de Zariski, la forme de Beauville-Bogomolov-Fujiki (BBF) et la décomposition du cône big de $X$ en chambres de Boucksom-Zariski, nous associons à toute classe de diviseurs big $\alpha$ et à un diviseur premier $E$ sur $X$ un polygone $\Delta_E(\alpha)$ dont la géométrie est liée à la variation de la décomposition divisorielle de $\alpha$ dans le cône big de $X$. Le volume euclidien est exprimé en termes de la forme BBF et est indépendant du choix de $E$. Nous montrons que ces polygones s'inscrivent dans un cône convexe $\Delta_E(X)$ sous forme de tranches, globalisant ainsi la construction. En conclusion, nous montrons que sous certaines hypothèses, les polygones $\Delta_E(\alpha)$ peuvent être écrits comme sommes de Minkowski de certains polygones $\{\Delta_E(\beta_i)\}_{i\in I}$, pour certaines classes big $\{\beta_i\}_{i \in I}$. Il est remarquable que ces polygones se comportent comme les corps de Newton-Okounkov des diviseurs big sur les surfaces projectives lisses.
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tel-04513395 , version 1 (13-05-2024)
tel-04513395 , version 2 (17-05-2024)

Identifiers

  • HAL Id : tel-04513395 , version 2

Cite

Francesco Denisi. Positivity on irreducible holomorphic symplectic manifolds. Mathematics [math]. Université de Lorraine, 2023. English. ⟨NNT : 2023LORR0162⟩. ⟨tel-04513395v2⟩
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