Stabilization of a class of non-linear PDE. Application to the Vlasov-Poisson equation
Stabilisation d’une classe d’EDP non linéaire. Application à l’équation de Vlasov-Poisson
Résumé
The work presented in this thesis concerns the stabilization of a class of nonlinear partialdifferential equations. It is a discretized model of the Vlasov-Poisson equation describing the spatial and temporal evolution, in a plasma, of a distribution function of charged particles. In a first step, we addressed the stabilization of the dynamical systems in fixed time (i.e. stabilization in finite time with a uniformly bounded). Criteria relaxing existing results in the literature have been established. Indeed, we have shown that, for a dynamical system, the combination of slow stability (in the polynomial sense) and fast stability (in the finite time sense) leads to a stability in fixed time. Various applications on the discretized Vlasov-Poisson system also concern the double integrator system with observer and the bilinear systems in infinite dimension where for each of these systems, the stabilizing feedback and/or observers in fixed time are constructed and numerically tested. In a second step, we are interested in the small time stabilization of time varying dynamical systems. In fact, the notion of small time is commonly used in theory of controllability. For stabilization, this small time is located between finite time and the fixed time. We have developed theoretical results based on the energy method guaranteeing the disappearance of the solution in small time. This is obtainedby means of a time excitation of a positive function not integrable in the sense of Lebesgue. Then, we have applied our results on model examples such as the transport equation with boundary control, the wave equation subject to a boundary control of the Wentzell type. Also, for finite and infinite dimensional bilinear systems which are, in addition, typical discretized Vlasov-Poisson models. For each system, we have elaborated its feedback whose construction is based on the integration of temporal and uniform excitations.
Les travaux présentés dans cette thèse portent sur la stabilisation d'une classe d'équations aux dérivées partielles non linéaires. Il s'agit d'un modèle discrétisé de l'équation de Vlasov-Poisson décrivant l'évolution spatio-temporelle, dans un plasma, d'une fonction de distribution de particules chargées. Dans une première étape, nous avons abordé la stabilisation des systèmes dynamiques en temps fixe (i.e. la stabilisation en temps fini avec un temps d'établissement uniformément borné). Des critères relaxant des résultats existants dans la littérature ont été établis. En effet, nous avons montré que, pour un système dynamique, la combinaison de la stabilité lente (au sens polynomiale) et de la stabilité rapide (au sens temps fini) conduit à une stabilité en temps fixe. Diverses applications sur le système de Vlasov-Poisson discrétisé concernent aussi le système double intégrateur avec observateur et les systèmes bilinéaires de dimension infinie où pour chacun de ces systèmes, le retour stabilisant et /ou les observateursen temps fixe sont construits et testés numériquement. Dans une seconde étape, nous nous sommes intéressés à la stabilisation en temps petit des systèmes dynamiques variants dans le temps. En fait, la notion de temps petit est couramment utilisée dans la théorie de la commandabilité. Pour la stabilisation, ce temps petit est situé entre le temps fini et le temps fixe. Nous avons élaboré des résultats théoriques basés sur la méthode énergétique garantissant la convergence de la solution, vers zéro, en temps petit. Cela, est obtenu moyennant une excitation temporelle d'une fonction positive non intégrable au sens de Lebesgue. Puis, nous avons appliqué nos résultats sur des exemples modèles comme l'équation de transport avec contrôle frontière, l'équation d'onde soumis à un contrôle frontière du type Wentzell. Également, pour les systèmes bilinéaires en dimension finie et infinie qui sont, en outre, des modèles types de Vlasov-Poisson discrétisé. Pour chaque système, nous avons élaboré son retour d'état dont la construction est basée sur l'intégration des excitations temporelles et uniformes.
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